cours anneaux commutatifs

Chapitre 2 Propriétés arithmétiques des anneaux commutatifs intègres 2.1 Divisibilité dans les anneaux commutatifs intègres Soit A un anneau commutatif intègre. On note avec une barre verticale la relation de divisibilit´e.Remarque 2.1.1. Il y a ´equivalence entre :(i) xjy et yjx,(ii)9u2A y =ux,(iii) (x) = (y).Proposition 2.1.2. a) Sur A la relation xy,9u2A y =ux est unerelation d’´equivalence.Les classes d’´e sont appel´ees classes d’´el´ements associ´es.c) La relation divise induit une relation d’ordre sur les classes d’´el´ementsassoci´es.La relation d’ordre pr´ec´edente permet de d´efinir les notions de PGCD et dePPCM comme borne inf´erieure et borne sup´erieure. L’existence n’est pas ga-rantie,maisilyatoujoursunicit´ecommeclassed’´el´ementsassoci´es.Donnonsune formulation pr´ecise na¨ıve.D´efinition 2.1.3. Soit A un anneau commutatif int`egre, et F un ensembled’´el´ements de A.a) d est (un) PGCD de F si et seulement si :8x2F djx ,et1168δ2A f0g (8x2F δjx))δjd .b) m est (un) PPCM de F si et seulement si :8x2F xjm ,et8μ2A f0g (8x2F xjμ))mjμ .D´efinition 2.1.4. p2 A est irr´eductible si seulement si p a deux classes de diviseurs : A et pA .On va relier cette notion `a celle d’id´eal.Proposition 2.1.5. Si l’id´eal pA est premier (on dit que p est premier),alors p est irr´eductible.2.2 Anneaux euclidiensD´efinition 2.2.1. Un anneau A est euclidien si et seulement s’il existe uneapplication d :A f0g !N satisfaisant la condition suivante ...