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66666Anneaux, idéaux, corps1 Anneaux, corpsDéfinition 1.1. Un anneau est un ensembleA, muni de 2 lois de composition interne (LCI),généralement noté par + (addition) et ∗ (multiplication) telles que1. (A,+) est un groupe commutatif avec l’élément neutre noté par 0 .A2. La multiplication ∗ est associative, c.a.d (a∗b)∗c =a∗(b∗c) et possède un élémentneutre noté par 1 .A3. La multiplication est distribitive par rapport à l’addition, c.a.da∗(b+c) =a∗b+a∗c ,(a+b)∗c =a∗c+b∗cpour tout a,b,c∈ASi la lois ∗ est commutative, on dit que l’anneau A est commutaitif.Remarques 1.2. 1) Il est facile de voir que 0 .a =a.0 pour tout a∈A.A A2) Dans la défintion, on ne demande pas que 0 = 1 . Mais si 0 = 1 , alors pour toutA A A Aa∈A, on a a =a∗1 =a∗0 = 0 d’où A = 0. L’anneau A n’est pas intéressant.A A3) Dans la litérature, on adopte parfois une défintion plus générale d’un anneau dans laquelleon ne demande pas que la lois ∗ possède un élément neutre.Exemples 1.3. 1) (Z,+,∗),(Q,+,∗),(R,+,∗) sont des anneaux commutatifs2) (M (R),+,∗) est un anneau non-commutatif si n> 1. Pourquoi?n3)L’ensembledesfonctionsd’unensembleX dansRestunanneaupourleslois: (f+g)(x) =f(x)+g(x), (f ∗g)(x) =f(x)g(x)14) L’ensemble des fonctions intégrables L (R,R) n’est pas un anneau. Pourquoi?5) Rappelons qu’on définit l’addition surZ/nZ ={0,1,...,n−1} par a+b = (a+b) et quecette opération donne une structure de groupe cyclique sur Z/nZ. De plus, si on définit lamultiplication sur ce groupe par a ...