Cours-AN3-2

COURS 2 : La droite réelle (suite)1 Conséquences des axiomesLes axiomes énoncés plus hauts permettent de raisonner sur les nombres réels. D’autresprésentations de la droite réelle sont possibles : dans le livre Mathématiques L1 : cours1complet... vous trouverez un autre ensemble d’axiomes. Le dernier axiome est remplacépar «Toute partie non vide majorée a une borne supérieure». Avec le système d’axiomesque nous avons adopté cette propriété est un théorème qu’il faut démontrer (voir plus2bas). Dans le livre Mathématiques : tout en un pour la licence (L1) vous trouverez uneconstruction de l’ensemble des nombres réels fondée uniquement sur le développementdécimal (pages 545 et suivantes).Il faudrait pour être complet montrer qu’il existe un ensemble satisfaisant les axiomes que3nous avons choisis. Cela peut être fait de plusieurs manières . Les propriétés des nombresréels se déduisent de ces axiomes. En toute rigueur tout énoncé doit être démontré àpartir des axiomes au moyen des règles de raisonnement logiques admises en mathéma-4tiques . L’analyse mathématique moderne est bien construite selon ce modèle. On partdes axiomes, on définit de nouveaux objets dont on démontre les propriétés. Un théorèmepeut donc être ramené aux axiomes. En pratique on ne remonte pas en général jusqu’auxaxiomes : on déduit le théorème de résultats déjà prouvés; on rattache le théorème à une1http://catalogue.univ-rennes1.fr/ipac20/ipac.jsp?session=C2840RB340222 ...