cours-agreg-bis

I. Outils probabilistesCette approche des probas est due `a Kolmogorov(1903-1987).1. Espaces probabilis´es, variables al´eatoiresD´efinition.Soit Ω un ensemble et F une tribu (on dit aussiune σ-alg`ebre) sur Ω. Si P est une mesure sur Ftelle que P(Ω) = 1, on dit que P est une proba-bilit´e (ou mesure de probabilit´e). On dit aussi que(Ω,F,P) est unespace probabilis´e. (ou espace deprobabilit´e)Un ensemble A∈F est appel´e un ´ev´enement. Un´ev´enement A a lieu presque sˆurement (p.s.) siP(A)=1. On dit aussi P-presque surˆ ement.Dans toute la suite du cours, (Ω,F,P) d´esigne unespace probabilis´e.1Notation.Si A est un ensemble fini, #A est le cardinal de A,c’est-`a-dire le nombre d’´el´ements dans A.On note aussi CardA.Notation.Soit Ω un espace et x∈Ω. La masse de Dirac enx, not´ee δ , est la mesure d´efinie par :x(1 si x∈A∀A⊂Ω, δ (A)=x0 si x6∈AExemple.Si Ω est fini, la probabilit´e uniforme sur Ω est#Adonn´ee par P(A) = pour tout A ⊂ Ω, ce qui#ΩX1peut s’´ecrire P = δ .ω#Ωω∈Ω2D´efinition.Une variable al´eatoire r´eelle est une fonctionX:Ω →R mesurable pour F et B(R), o`u B(R) estla tribu des bor´eliens sur R.Si X est une fonction mesurable `a valeurs dans Cdou R , on parle de variable al´eatoire complexe ouvectorielle.Notation.P(X ∈B)=P({ω∈Ω|X(ω)∈B}).De mˆeme : P(X ≤1), P(X =0)...2. Loi d’une variable al´eatoireD´efinition.Soit X une v.a. r´eelle. La loi de X est la mesureimage de P par X. C’est la mesure de probabilit´eP sur R ...