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I. Lois et variables al´eatoires 1.1. Exemples de lois discr`etes1. Lois discr`etes a) Loi de Bernoulli b(p) =B(1,p)La v.a. X suit une loi de Bernoulli de param`etre p,D´efinition. avec 0 < p < 1, si X prend ses valeurs (p.s.) dansUne variable al´eatoire (v.a.) est discr`ete si elle {0,1}, P(X =1)=p et P(X =0)=1−p.prend presque sˆurement ses valeurs dans un en-b(p)=(1−p)δ +pδ .semble fini ou d´enombrable E. 0 1(g´en´eralement, X prend des valeurs enti`eres).Exemple : jeu de pile ou face. 1 repr´esente unSi E ={x ,i∈I} et P(X =x )=p , la loi de X esti i i succ`es, 0 un ´echec. La pi`ece est ´equilibr´ee siXp=1/2.P = p δ .xX i ii∈IPOn a p ≥0 et p =1i ii∈I Plus g´en´eralement, quand une v.a. ne prend p.s.(sinon P n’est pas une probabilit´e).X que2valeurs,onditqu’ellesuituneloideBernoulli.Une probabilit´e Q est dite discr`ete si elle s’´ecritcomme combinaison lin´eaire finie ou d´enombrablede masses de Dirac : XQ= pii∈IUne v.a. est discr`ete ssi sa loi est discr`ete.1 2b) Loi binomiale B(n,p) 2. Lois continuesLa v.a. X suit une loi binomiale de taille n≥1 et deD´efinition. Une probabilit´e Q est continue s’ilparam`etre p, avec 0