COURS

Cours d’AlgµebreJean-Claude Mado2002-200326Chapitre 1Anneaux et CorpsTous les anneaux A seront suppos¶es commutatifs, unitaires et 1 =0 .A A1.1 Anneaux (rappels)Un anneau A d¶esigne donc un triplet (A;+;£) c’est µa dire un ensemble A,non vide et muni de deux lois de composition interne l’addition ‘+’ et lamultiplication ‘£’ telles que :i) (A;+) possµede une structure de groupe commutatif, d’¶el¶ement neutrenot¶e 0 .Aii) La multiplication £, (not¶ee ¶egalement ¢ ) est associative, commutativeet poss¶ede un ¶el¶ement neutre not¶e 1 ; elle est distributive par rapport µaAl’addition.Produits d’anneaux :¶Etant donn¶e une famille (A ) d’anneaux, il existe sur le produit d’en-i i2IQsembles A une structure canonique d’anneau produit.ii2IPar la suite nous nous int¶eresserons principalement aux anneaux :ZZ- ZZ, l’anneau des entiers relatifs, l’anneau des entiers modulo l’entier n,nZZnet aux extensions Z , IQ, etc.;-k[X], anneaux des polyn^omes aµ une ind¶etermin¶ee sur un corps k, vu commeapplications aµ support flnie de IN dans k;-k[X ;:::;X ], l’anneau des polyn^omes µa n ind¶etermin¶ees sur un corps k,1 nnd¶eflni comme l’ensemble des applications µa support flni de IN dans k.3664 CHAPITRE 1. ANNEAUX ET CORPS- k[[X]] anneau des s¶eries formelles µa une ind¶etermin¶ee sur un corps k,l’ensemble des applications de IN dans k, utilis¶es en combinatoire (s¶eriesg¶en¶eratrice), ou pour la r¶esolution d’¶equations difi¶erentielles.1.1.1 Divisibilit¶e dans ...