Cours

CHAPITRE1SÉRIESNUMÉRIQUES1.1 GénéralitésDéfinition1.1.1Soit(u ) une suite de nombres réels, on pose :n nnXS = u +u +...+u = u .n 0 1 n kk=0La limite de S est appelée série de terme généralu .n n(S ) est appelée suite des sommes partielles de la série.n nNotation  X X     Unesériedetermegénéral u estnotée u ou u .n n  n n≥01.2 ConvergenceDéfinition1.2.1Une série de terme général u est dite convergente si la suite des sommes partielles (S ) estn n nconvergente.Dans ce cas, la limite de la suite(S ) est appelée somme de la série et on note :n n+∞Xlim S = un nn→+∞n=0Une série qui n’est pas convergente estdite divergente.End’autrestermes,sionnoteℓ= lim S onaalors:nn→+∞ X   u convergeversℓ⇐⇒ lim S = ℓ n n  n→+∞n≥⇐⇒∀ε > 0, ∃N∈N :∀n∈N(n≥ N=⇒|S −ℓ| < ε)n   nX       ⇐⇒∀ε > 0, ∃N∈N :∀n∈N n≥ N=⇒ u −ℓ < ε . n    k=01SÉRIESNUMÉRIQUESExemple1.2.11) Série géométrique. Une série géométrique est une série dont le terme général est de la formenu = a.q , a, 0.nPour ce type de série, le calculde la somme partielle est donné par la formule suivante :2 n 2 nS = u +u ++u = a+a.q+a.q ++a.q = a(1+q+q ++q )n 0 1 n n+11−qa si q, 1=  1−qa(n+1) si q= 1.Onremarqueainsique lim S existesietseulementsi|q| < 1.Danscecaslasériegéométriquenn→+∞+∞X 1 anconverge et on a a.q = a = .1−q 1−qn=01 ∗2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme u = où n ∈N .n ...