Cours

CHAPITRE3SERIESDEFOURIER3.1 SériestrigonométriquesDéfinition3.1.1 Onappellesérietrigonométriqueréelle,toutesériedefonctionsdelaforme:∞Xa0+ a cos(nωx)+b sin(nωx) (1)n n2n=1avec x∈R,ω > 0, a ,b ∈R,pourtout ndansN.n nLe problème est de déterminer l’ensemble Δ tel que la série (1) soit convergente pour toutx∈Δ.Remarque3.1.1Supposonsquelasérie(1)convergeetposons∞Xa0f(x)= + a cos(nωx)+b sin(nωx).n n2n=1Sachantquepourtous n∈Net k∈Z:cos(nω(x+2kπ/ω))= cos(nωx+2nkπ)= cos(nωx)sin(nω(x+2kπ/ω))= sin(nωx+2nkπ)= sin(nωx).2kπAlorslasérie(1)convergeentoutpointdelaforme x+ , k∈Z.ω !2kπSi la série (1) converge dansR, on aura f(x) = f x+ et par suite la fonction f estωpériodiquedepériode T = 2π/ω.Enconclusion,lespropriétéssuivantessontéquivalentes:i. Lasérietrigonométrique(1)convergedansR.ii. Lasérietrigonométrique(1)convergedans[0,2π/ω].iii. Lasérietrigonométrique(1)convergedans[α,α+2π/ω],∀α∈R43SERIESDEFOURIERProposition3.1.1 X X Si les séries numériques a et b sont absolument convergentesn nalors la série trigonométrique (1) est normalement convergente surR; doncabsolumentetuniformémentsurR.Preuve:C’estévidentpuisque|a cos(nωx)+b sin(nωx)|≤|a |+|b |.n n n nProposition3.1.2Silessuitesnumériques(a )et(b )sontdécroissantesettendentvers0,alorsn n2kπlasérietrigonométrique(1)estconvergentepour x, où k∈Z.ωPreuve:C’est une application direct du théorème d’Abel. Pour cela il suffit tout simplement ...