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Cours DEA 2006, 2007 (Résumé)Marie-France VignérasInstitut de Mathématiques de Jussieu, Université de Paris 7-Denis DiderotFebruary 5, 2007Un caractère de Dirichlet modulo N est un homomorphisme ε :∗ ∗(Z/NZ) → C vu comme une application de Z dans C nulle surles entiers non premiers à N et égale à ε(n +NZ) sinon. Le coursde Colmez a défini les fonctions Lp-adiques des caractères de Dirich-let. Le but de ce cours est de définir les fonctions L p-adiques desformes modulaires. Passer de la dimension 1 à la dimension 2. Lecadre général (toute dimension n ≥ 1) serait fourni par les formesautomorphes. Application de la théorie analytique des caractères deDirichlet à la théorie des nombres:- Théorème des nombres premiers- Théorème de la progression arithmétique(et plus savant: la formule analytique du nombre de classes d’uncorps de nombres, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer d’unecourbe elliptique définie sur Q).OnexposelepremierchapitredutextedeMazur-Tate-Teitelbaum.Maisauparavant,ilfautsavoircequ’estuneformemodulaireclassiquepour laquelle on construira une fonction L p-adique.Formes modulaires au sens classique.1. Formes holomorphes paraboliques modulaires pour Γ (N) deocaractère ε et de poids k≥ 22. Equation fonctionnelle de la fonction L(f,s)3. Opérateur de Hecke T(p) pour un nombre premier p4. Formes primitives5. Les opérateurs| wk Q6. Torsion par un caractère de Dirichlet χ2 Marie-France Vignéras7. Rationalité, intégralité (admis).Livre ...