Cours

77CHAPITRE4LATRANSFORMÉEDEFOURIER4.1 FonctionslocalementintégrablesSoit I unintervalledeRetsoit f :R→ Runeapplication.Définition4.1.1Onditque f estlocalementintégrablesurI si f estintégrablesurtoutintervallefermébornécontenudans I. R bC’estàdire, f estlocalementintégrablesur I,siquelquesoit[a,b]⊂ I,alors f(x)dxexiste.aRemarque4.1.1Il est clair que toutes les fonctions continues sont localement intégrables.On note par Loc(I,R)={f : I→ R : f localement intégrable}.OnaalorsC(I,R)⊂ Loc(I,R)etl’inclusioneststricte.Commeexemplelafonction f(x)= [x],(partieentière de x) est localement intégrable mais non continue.Proposition4.1.1L’ensemble Loc(I,R) est un sous-espace vectoriel deF(I,R), (espace de toutes les fonctions définiesde I dansR).4.2 L’intégraledeFourierPour conclure l’étude de la théorie des séries deFourier, on examinera le cas limite oùl’intervalle]−ℓ,ℓ[,danslequelonétudielasériedeFourier,tendvers]−∞,∞[,c’estàdirelorsqueℓ−−→∞. Z ∞Soit f :R7!RunefonctionlocalementintégrablesurRettellequeI= |f(t)|dtconverge.−∞Onsupposeque f satisfaitauxconditionsdeDirichletetadmetundéveloppementensériedeFourierdansl’intervalle[−ℓ,ℓ],ℓ> 0.Doncilexisteunefonction g :R7!Rpériodique,2πde période T = 2ℓ = , vérifiant les hypothèses de Dirichlet (donc développable en sérieωdeFourier)tellequelarestriction g = f.|[−ℓ,ℓ]63LATRANSFORMÉEDEFOURIERAlorspourtout x∈ [−ℓ,ℓ]ona:∞ ∞ X Xh ia a nπ nπ0 0(a) f(x)= + a cos(nωx)+b sin(nωx) = + a cos x +b sin xn n n n2 2 ...