Cours

CHAPITRE2SÉRIESENTIÈRES2.1 SériesentièresX Définition2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions f dont le termenngénéralestdelaforme f (x)= a x ,où(a ) désigneune suite réelleoucomplexe etx∈R.n n n nX nUne série entière est notée a x . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en-nsemble:  ∞ X  nΔ= x∈R : a x converge n n=0qu’onappelledomainede convergence delasérie entière.Exemple2.1.1∞X nxExemple1: .n!n=0nxPosons f (x)= etappliquonslecritère de D’Alembert;n n! f (x) xn+1 lim = lim = 0.Lasérieentièreestabsolumentconvergentepourtoutx∈R; n−→∞ n−→∞f (x) n+1ndoncΔ=R. ∞X nxExemple2: .2nn=1 n 2 f (x)x nn+1 Posons f (x)= ona: lim = lim x=|x|.n 2 n−→∞ n−→∞n f (x) n+1nSi|x| < 1,lasérie estabsolument convergente et si|x|> 1lasérie diverge.Etudions lecasoù|x|= 1.∞Xn n |x| 1 x ona f (x) = = Lasérie estalorsabsolumentconvergentedans[−1,1];etalorsn 2 2 2n n nn=0Δ= [−1,1]21SÉRIESENTIÈRES∞XnExemple3: n!x .n=0 f (x)n+1 Cettesérieneconvergequesix= 0car lim = lim |(n+1)x|etlalimiten’existeque n−→∞ n−→∞f (x)nsi x= 0:d’où:Δ={0}.∞X nxExemple4: .nn=1 n f (x)x nn+1 Posons f (x)= ona lim = lim x =|x|.Si|x| < 1,lasérie estabsolumentn n−→∞ n−→∞n f (x) n+1nconvergente etsi|x|> 1lasérie diverge.Etudions lecas où|x|= 1. X 1x= 1:c’est lasérie harmonique ,elleest divergente.n !X n(−1)x=−1:c’estlasérie ...