Cours 3

6MATH 5.3 Alg`ebre 4 E. EdoChapitre 3 : Anneaux, divisibilit´e1. Divisibilit´e, anneaux int`egresSoit A un anneau.Soit a2A, l’application „ :A!A d´efinie par „ (x)=ax est un morphisme de groupe.a a£Si „ n’est pas injective, on dit que a est un diviseur de z´ero. On note A l’ensemble des ´el´ements de Aa£qui ne sont pas des diviseurs de z´ero. Autrement dit A =fa2A;„ injectiveg.aSi „ est bijective, on dit que a est inversible. L’ensemble des ´el´ements inversibles est le groupe multipli-a⁄ ⁄catif de l’anneau A, not´e A . Autrement dit A =fa2A; (9b2A)ab=1g.L’imagedeApar„ estnot´ee„ (A)=aAs’appellel’id´eal engendr´e par A(c’estl’ensembledesmultiplesa ade a). Soit I un id´eal de A. On dit que I est principal si il existe a2A tel que I =aA.Soit a;b 2 A. On dit que a divise b si b 2 aA. On dit que a et b sont premiers entre eux si pour tout⁄d2 A, on a : a2 dA et b2 dA implique d2 A (autrement dit les diviseurs communs `a a et b sont lesinversibles).⁄ £ ⁄ £LegroupemultiplicatifA agitsurA parmultiplication(pouru2A eta2A onau:a=„ (a)=ua).u⁄Soienta;b2A, on dit que a etb sont associ´es s’il sont dans la mˆeme orbite (c’est `a dire s’il existe u2A£ ⁄ ⁄ £telqueb=ua).OnnoteA =A l’ensembledesorbitesdel’actiondeA surA (c’estl’ensemblequotient£ £de A par la relation d’´equivalence ”ˆetre associ´es”). Soient a;b2A , on a Ω(a)Ω(b)=Ω(ab) (autrementdit la multiplication est compatible avec la relation d’´equivalence ”ˆetre associ´es”).£ ⁄Th´eor`eme La divisibilit´e induit ...