cours 2 Boole.key

Algèbre de Boole et fonctions Définition d’un Algèbre de Boolebooléennes • Soit un ensemble A possédant 2 éléments particuliers notés 0 et 1• A muni des opérations . (produit), + (somme) et • Introduction(complémentation) est une algèbre de Boole si!et seulement si il • Boole!: mathématicien anglais du 19ème siècle qui s’intéresse aux respecte les axiomes suivants!:propositions logiques- A1!: . et + commutatives et associatives• Proposition Vraie/Fausse• a.b= b.a, a+b= b+a, a.(b.c)= (a.b).c, a+(b+c)= (a+b)+c• Et, Ou, complément- A2!: 0 est l’élément neutre pour +, 1 est l’élément neutre pour .•Ordinateur!: manipule des 0 et 1 (2 tensions électrique 0v et 5v)• 0+a= a, 1.a= a• 0 : faux- A3!: . est distributive par rapport à + et inversement• 1: vrai• a.(b+c)= a.b+a.c , a+(b.c)= (a+b).(a+c)• L’étude des fonctions booléennes permet de construire des - A4!: pour tout a élément de A!: a+ a= 1 et a. a = 0circuits électroniquesBoole Boole© P. Sicard-Cours ALM 2 © P. Sicard-Cours ALM 21 2Un algèbre de Boole Notations• Il existe de nombreux algèbres de Boole• Le . est prioritaire sur le +. Le complément est prioritaire sur le + • L’exemple le plus simple d’algèbre de Boole est celui pour lequel et le .A= {0, 1}. On notera B= {0,1}• On omet souvent les .• D’après les axiomes nous avons:• Exemple!: "- 1.0= 0, 1.1= 1, 0.0= 0 - ab+c= a.b+c= (a.b)+c - 1+0=1, 1+1=1, 0+0=0 - ab = (ab)- 1= 0, 0= 1• Propositions logiques!: - produit: et - somme: ou ...