af-cours

Chapitre 2ESPACES LOCALEMENTCONVEXESVersiondu27juin2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 8577772.1 Semi-normes2.1 Semi-normeseDEFINITION 1 On dit qu une fonction p : F R est une fonctionnelle et qu?elle estsous-linØaire si elle possŁde les deux propriØtØs suivantes :(a) positivement homogŁnep(α•ϕ)=α•p(ϕ) pour tout α∈R et ϕ∈F ,+(b) sous-additivep(ϕ+ψ)6p(ϕ)+p(ψ) pour tout ϕ,ψ∈F .Nous dØsignerons parSL(F) l ensemble de toutes les fonctionnelles sous-linØaires sur F .On dit que p est une forme sous-linØaire si c?est une fonctionnelles sous-linØaires surF ?valeurs dansR et que c est une semi-norme si elle prend ses valeurs dansR et si elle est+(c) absolument homogŁnep(α•ϕ)=|α|•p(ϕ) pour tout α∈K et ϕ∈F ,On dit que c?est unnorme si en plus elle est(d) sØparantep(ϕ)=0 ϕ=0 pour tout ϕ∈F .Nous dirons qu un espace vectoriel F muni d une semi-norme p est un espace semi-normØ .S il faut prØciser nous Øcrirons (F,p) . Rappelons que l?on ditespace normØ s il est muni d unenorme.EXEMPLE 1 Pour toute forme linØaire ? : F K , la fonction ϕ |?(ϕ)| est unesemi-norme sur F .ParexemplesiX est un ensemble et x ∈ X , alors la forme linØaire d?Øvaluation en xXε :K K : ϕ ϕ(x)xXdØ?nit une semi-norme surKXK R : ϕ |ϕ(x)| .+Si X est un espace topologique sØparØ et ? une intØgrale de Radon sur X,alorsfl flZfl fl1 fl flL (?) R : ϕ ϕd + fl fl86 ESPACES LOCALEMENT CONVEXES Claude Portenier−→ −→−→ −→−→ −→−→ −→⇐⇒−→7777777Semi-normes 2.11est unesemi-normesurL ...