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Chapitre 6ALG¨BRES DE BANACHETSPECTRESVersiondu5juilet2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 3476.1 AlgŁbres normØes6.1 AlgŁbres normØesDEFINITION 1 SiF est un espace vectoriel,respectivement un espace localement convexe,on poseL(F):=L(F,F) et L(F):=L(F,F) .Si F est un espace normØ, soit L(F) lespace (normØ) des opØrateurs bornØs dans F .Rappelons que, pour T ∈ L(F),onakTk := sup kTϕk et que T ∈ L(F) si, etϕ∈F,kϕk61seulement si, kTk<∞ (cf. dØÞnition 3.2.1)..PROPOSITION Soit F un espace normØ. Pour tout S,T ∈L(F),onakSTk6kSk•kTk .Cest immØdiat (cf. 3.2). ⁄DEFINITION 2 On dit quune K-algŁbre A munie dune norme k•k telle quekabk6kak•kbk pour tout a,b∈A ,est une algŁbre normØe . On dit que c est une algŁbre de Banach si elle est complŁte et unifŁresi elle possŁde une unitØ e telle que kek=1.EXEMPLE 1 Si F est un espace normØ, alors L(F) est une algŁbre normØe unifŁre. C estune algŁbre de Banach si F est un espace de Banach.CeladØcouledelapropositionci-dessusetdelaproposition3.2. ⁄∞EXEMPLE 2 Soit X un ensemble. Muni de la multiplication ponctuelle lespace ‘ (X) estb 0une algŁbre de BanachunifŁre. SiX estunespacetopologique,alorsC (X) etC (X)sont aussib 0des (sous-) algŁbre de Banach. C (X) est unifŁre; il en est de mŒme deC (X) si, et seulementsi, X est compact.1 nEXEMPLE 3 Nousavons vu en 4.12,exercice2,queL (R ) est une algŁbrede Banach pourle produit de convolution. Elle n est pas unifŁre.348 ALG¨BRES DE BANACH ET SPECTRES Claude ...