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Chapitre 4ESPACES DE DISTRIBUTIONSVersion du 12 juillet 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 23174.1 Une maniŁre d interprØter la notion de dualitØ4.1 Une maniŁre dinterprØter la notion de dualitØExemple physiqueSoient F un ensemble de fonctions-test sur un espace mØtrique X et m une intØgrale denRadon sur X , canoniques pour le problŁme considØrØ, par exemple un ouvert X de R etl intØgrale de Lebesgue λ . Une fonction m-mesurable f sur X dØcrivant un certain phØnomŁneest en gØnØral connue par lintermØdiaire de moyennes pondØrØes de f :Zhϕ|f •mi := ϕ•fdm;ce sont des mesures de f l aide des appareils ϕ . La forme semi-linØairehƒ|f •mi : ϕ hϕ|f •mi ,i.e.l intØgralededensitØ f par rapport m,estdoncplusnaturellequelafonctionf elle-mŒme.Ceci va nous conduire la thØorie des distributions. Voici une maniŁre de comprendre lanØcessitØ de leur utilisation, et le r le tout fait naturel qu elles jouent. ConsidØrons une boulede billard et le problŁme de la rØßexion sur une bande :Admettonsque, pour tout a,b∈R tels quea 0 , dØpendant de la vitesse et de l angle dincidence, et τ le tempsdu choc.Si ce phØnomŁne est dØcrit par une fonction force de composante F , la loi de Newton F = pœentrane Z Z Zb bp(b)−p(a)= pœ = F = 1 •F .[a,b]a a232 ESPACES DE DISTRIBUTIONS Claude ...