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Chapitre 7OPRATEURS NON-BORN SDans ce qui suit H et G dØsignent des espaces de Hilbert.Version du 30 mars 2005Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 375É7.1 OpØrateurs fermØs7.1 OpØrateurs fermØsDEFINITION 1 Soient H et G des espaces de Hilbert. Nous dirons quune application li-nØaire T :D(T) G dØÞnie sur un sous-espace vectoriel D(T) de H est un opØrateur , dansH valeurs dans G s il faut prØciser. Nous dirons simplement que c est un opØrateur dans Hsil prend ses valeurs dans H . Le sous-espace vectoriel D(T) sap’ pelle le domaine de T . NousdØsignerons par D(T) le sous-espace vectoriel D(T) muni du produit scalaire(ξ|η) =(ξ|η) +(Tξ|Tη) .D(T) H GCe produit scalaire est parfois notØ (ξ|η) . La norme dØduite s appelle norme en graphe .TNous dirons quun opØrateur T est fermØ si le grapheGrT ={(ξ,Tξ)∈H G| ξ∈D(T)}est fermØ dansH G .THEOREME Soit T un opØrateur dans H . Les propriØtØs suivantes sont Øquivalentes :(i) T est fermØ.(ii) Pour toute suite (ξ ) ⊂D(T) telle quek k∈Nξ := lim ξ et γ := lim Tξk kk kexistent dans H respectivement G,onaξ∈D(T) et γ =Tξ .(iii) D(T)estunespacedeHilbert.Dans ce cas D(T) est l image de GrT par pr et D(T) ,→H est un sous-espace hilbertien1de noyau D :H D(T) tel queT†D(T)=D (H)+T (G) ,T† †i.e. Id =D D +T T , en considØrant les semi-dualitØshD(T)|D(T)i ethH|Hi.D(T) T TLØ’ quivalencede (i)et(ii)estimmØdiate.Pourcellede (i)et(iii),ilsuffitderemarquerqueD(T) est isomØtrique au sous-espace vectoriel GrT @H G ,H G Øtant muni ...