af-cours

Appendice 2LES POLYNOMES ORTHOGONAUXCLASSIQUESdeJACOBILAGUERREetHERMITEVersion du 2 fØvrier 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 46762.1 Relations de rØcurrence2.1 Relations de rØcurrenceDEFINITION SoitX ⊂R et µ une intØgrales de Radon telle que, pour toutk∈N,onaitZk|id| d < ∞ .On dit que (p ) est un systŁme de polynmes orthogonaux par rapport à µ si, pour toutk k∈Nk∈N,ona(a) p ∈P , le sous-espace vectoriel des polynmes de degrØ 6k ,k k(b) p ⊥P .k+1 k∗Soit J un intervalle ouvert deR et ρ :J R .Onditqueρ est un poids si+Zk|id| •ρdλ <∞Jpour tout k∈N .Nous utiliserons, pour tout z∈C , la notation z!:=Γ(z+1)et rappelons la dØÞnition ducoefficient binomial gØnØralisص ¶ kYz z−l+1= pour tout k∈N .k ll=1THEOREME Il existe une relation de rØcurrence de la formeid•p =a •p +b •p +c •p ,k k k+1 k k k k−1en ayant posØ p =0.Enoutresip =g •1 , ge =0et−1 0 0 0k k−1 ∗p ∈g •id +ge •id +P pour tout k∈N ,k k k k−2on a g =0etkkp kg ge g kk k k+1 2, a = ,b= − ,c= •a .k k k k−1g g g kp kk+1 k k+1 k−1 2, pour tout k∈N .Si le systŁme est orthonormØ, alorsc =a .k k−1468 LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES Claude Portenier−→ôôPolyn mes orthogonaux classiques 2.22.2 Polyn mes orthogonaux classiquesLes polyn mes classiques orthogonaux sont caractØrisØs par le∗THEOREME Soient ρ : J R un poids et (p ) un systŁme de polyn mes orthogo-k+ k∈Nnaux associØ ρ . Les propriØtØs suivantes sont Øquivalentes :(i) (p ) est Øquivalent, i.e. aprŁs une ...