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Chapitre 3APPLICATIONS LIN AIRESETSEMI-DUALIT Dans tout ce qui suit F et G dØsignerons des espaces localement convexes.Versiondu19janvier2005Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 13573.1 Espaces dap’ plications linØaires3.1 Espaces dapplications linØairesFDEFINITION 1 Nous dØsignerons par L(F,G) le sous-espace vectoriel de G formØ desapplicationslinØairesdeF dansGetparL(F,G)lensembledesapplicationslinØairescontinuesde F dans G .LEMME L(F,G) est un sous-espace vectoriel de L(F,G).C est immØdiate par le thØorŁme et le corollaire 2.2, car pour tout S,T ∈L(F,G) , α∈Ket toute semi-norme continue q sur G,onaq◦(α•S)=|α|•q◦Setq◦(S +T)6q◦S +q◦T 6 2•max(q◦S,q◦T) .⁄DEFINITION 2 EtantdonnØdessemi-normespetq surF etGrespectivement,onconsidŁresur L(F,G) la fonctionnelleT kTk :=sup q(Tϕ)∈R .+ϕ∈F,p(ϕ)61p,qElle est Øvidemment sous-linØaire et, sikTk <∞,onap,qq(Tϕ)6kTk •p(ϕ) pour tout ϕ∈Fp,qpar le lemme 2.2.LEMME Soit T ∈ L(F,G).PourqueT ∈L(F,G),ilfautetilsuffit que, pour toute semi-norme continue q sur G , il existe une semi-norme continue p sur F telle que kTk <∞ .p,qn fl oflp,qREMARQUE 1 En posantL (F,G):= T ∈L(F,G) kTk <∞ et en dØsignant parfl p,qP et Q lensemble des semi-normes continues sur F et respectivement G , on a donc" #\ [p,qL(F,G)= L (F,G) .q∈Q p∈PCecimontrelanaturecomplexedeL(F,G)etquiln estpasØvidentdelemunirdunestructured’espace localement convexe canonique liØe directement à celles de F et G.Enfaitonpeut136 SEMI-DUALIT Claude Portenier’ ...