2006-STPI-cours-chap3

6Universit´e de Nantes Licence STPI L1 Rem : il se peut que f admette un DL (x ) avec n> 2 sansn 0Module Math´ematiques 2 Ann´ee 2005/2006 ˆetre n-fois d´erivable en x . La fonction f d´efinie surR par0 3 1x sin si x = 0x(1/3)Chap III : D´eveloppements Limit´es f(x) =0 si x = 0admet un DL (0) sans ˆetre 2-fois d´erivable en 0.III.1-Les fonctions “ε(x)” 2D´ef 3.1 : Lorsque f est une fonction d´efinie sur un intervallecontenant 0 telle que limf(x) = 0, on ´ecrira f(x) = ε(x) et onx→0dira que f(x) est un “ε(x)”. III.3-Obtention des d´eveloppements limit´esTh´eo 3.8 : “IMPORTANT”Rem : 1) On ´ecrira f(x) = a + ε(x− x ) pour signifier que0Si f est continue sur un intervalle I de R et si f admet unlim f(x) = a.x→x0 DL (x ) de la forme :k n 02) On peut rencontrer la notation f(x) = o(x ) : on dira quek 2 n nf(x) est “un petit o de x ”. f(x +h) = a +a h+a h +···+a h +h ε(h)0 0 1 2 nOn a la correspondance suivante ε(x) = o(1) et plusk k et si F est une primitive de f alors F admet pour DL (x ) :n+1 0g´en´eralement x ε(x) = o(x ).2 3 n+1h h h n+1Prop 3.2 : Soient f et g des fonctions d´efinies sur un intervalle F(x +h) = F(x )+a h+a +a +···+a +h ε(h)0 0 0 1 2 n2 3 n+1ouvert I contenant 0. On a les propri´et´es suivantes1)SOMME:Sif(x)=ε(x)etg(x)=ε(x),alors(f+g)(x)=ε(x).Attention : on n’a pas le droit de d´eriver (sans pr´ecaution) un2) MULTIPLICATION PAR UNE CONSTANTE : Si λ∈R etd´eveloppement limit´e ... mais on a le r´esultat suivantf(x) = ε(x), alors (λf)(x) ...