Théorème de la sphère

Niveau: Supérieur

• exposé

Théorème de la sphère E. Aubry Soit (Mn, g) une variété riemannienne compacte. Son volume, son di- amètre, son radius (par définition : la borne inférieure de l'ensemble des rayons des boules géodésiques recouvrantM) et son spectre (du laplacien) sont des in- variants riemanniens. Les valeurs de ces seuls invariants sur l'ensemble des var- iétés riemanniennes compactes ne permettent pas de distinguer la topologie ou même la métrique de ces variétés. Toutefois, si on restreint ces fonctionnelles à des sous-ensembles de variétés satisfaisant certaines hypothèses de courbure, la situation peut devenir radicalement di?érente. La sphère canonique (Sn, can) peut, par exemlpe, être ainsi caractérisée : Théorème 0.1 Toute variété riemannienne compacte (Mn, g) de courbure de ricci supérieure à (n? 1) vérifie les inégalités suivantes : (i) Diam(Mn, g) ≤ Diam(Sn, can), (ii) Vol(Mn, g) ≤ Vol(Sn, can), (iii) Rad(Mn, g) ≤ Rad(Sn, can), (iv) ?1(Mn, g) ≥ ?1(Sn, can). De plus, si l'égalité est réalisée dans une de ces inégalités, alors (Mn, g) est isométrique à (Sn, can).

• courbure sectionnelle


• sphère canonique


• courbure de ricci supérieure


• variété riemannienne compacte