PCSI Mathematiques Lycee Brizeux annee

Niveau: Supérieur
PCSI Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2011-2012 C o r r i g é d u D e v o i r M a i s o n 1 D e u x e t u d e s d e f o n c t i o n Exercice 1. Une etude de fonction 1. Par definition f(x) = exp( ln xln x?1 ) qui est definie si et seulement si x verifie a la fois x > 0 et lnx? 1 6= 0. Autrement dit, le domaine de definition de f est ]0, e[?]e,+∞[. 2. f est la composee des fonctions exp, derivable sur R, et x 7? ln xln x?1 , derivable sur ]0, e[?]e,+∞[ comme quotient de fonctions derivables. Par consequent f est derivable sur son domaine de definition. En appliquant la formule de derivation d'une fonction composee, on trouve pour tout x ?]0, e[?]e,+∞[ : f ?(x) = ?1 x (lnx? 1)2 exp ( lnx lnx? 1 ) . 3. • Limite en 0. Pour tout x appartenant au domaine de definition de f , on a : ln(f(x)) = lnx lnx? 1 = 1 + 1 lnx? 1 .

• consequent lim


• signe de la derivee etant


• puisque lim


• formule


• ln x?1 ?


• tan


• ln x?1