Systèmes intégrables semi classiques: du local au global

Niveau: Secondaire, Lycée

• mémoire

Systèmes intégrables semi-classiques: du local au global Vu˜ Ngo. c San 20 novembre 2003 Résumé Ce mémoire a pour but de présenter un panorama des recherches que j'ai effec- tuées depuis la soutenance de ma thèse en 1998. J'en ai également profité pour réordonner mes résultats et émailler le texte de réflexions parfois nouvelles afin de tenter de combiner l'introduction au sujet avec la synthèse de mes recherches. Il sera question de systèmes hamiltoniens complètement intégrables, de leur étude locale, de leurs singularités, de leurs aspects globaux et de certains liens qu'il en- tretiennent avec les variétés toriques, tout ceci du point de vue de la mécanique classique ainsi que de celui de leur quantification semi-classique. Introduction Le pendule de Huygens — Les origines de la géométrie et donc de la mécanique (en particulier céleste) se confondent avec celles des mathéma- tiques elles-mêmes. Néanmoins on attribue généralement l'étude du pre- mier système dynamique au mathématicien hollandais Christiaan Huy- gens. Sous le règne de Louis XIV, Huygens obtient la charge importante de diriger l'Académie Royale des Sciences. C'est ainsi qu'il propose au roi son célèbre traité sur le mouvement du pendule pesant et son application à la construction d'horloges à balancier [38]. Huygens est fier que ses pendules, les plus exactes jamais construites alors, équipent les appartements du roi, servent les bateaux pour leurs mesures de longitudes (1), et procèdent d'une analyse mathématique subtile.

• précurseur de l'analyse locale des systèmes dynamiques


• invariants sym- plectiques semi-globaux


• locales c1 des singularités des systèmes intégrables


• tore


• théorème des variables action-angle


• foyer-foyer