Convergence en probabilité

Niveau: Secondaire, Lycée
Chapitre 10 Convergences 10.1 Convergence en probabilité Rappel : Inégalité de Bienaymé-Chebyshev Soit X une variable aléatoire admettant une espérance E(X) et de variance finie ?2 (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de l'espérance). L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'énonce de la façon suivante : pour tout réel ? strictement positif, P (|X ? E(X)| ≥ ?) ≤ ?2 ?2 . Définition 32 (Convergence en probabilité) On considère une suite (Xn) d'une v.a. définie sur ?, X une autre v.a. définie sur ?. On dit que la suite (Xn) converge en probabilité vers une constante réelle si ?? > 0, lim n?∞ P (|Xn ? | > ?) = 0. On dit que la suite (Xn) converge en probabilité vers X si ?? > 0, lim n?∞ P (|Xn ?X| > ?) = 0. Conséquence : Pour que (Xn) converge en probabilité vers X, il faut et il su?t que E(Xn ?X) ? 0 et V (Xn ?X)? 0 lorsque n?∞ (la démonstration passe par l'inégalité de Bienaymé-Chebychev). 10.1.1 Exemple de la loi binomiale On réalise n expériences indépendantes et on suppose que lors de chacune de ces expériences, la probabilité d'un événement appelé succès est p.

• t√ ?


• variance finie


• loi normale de moyenne µ


• inégalité de bienaymé-chebyshev


• loi normale


• convergence en probabilité


• espérance


• probabilité