CALCULUS DU LYCÉE AU SUPÉRIEUR, Consolider et approfondir , livre ebook

Rue des écoles - Emmanuelle Tosel , Véronique Lods , Nicolas Tosel

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Description

Ce livre au style élégant et précis comporte deux parties. La première s'appuie directement sur le programme de Terminale Set propose une gamme d'exercices variés pour en garantir une connaissance approfondie. La seconde ouvre sur des sujets qui dépassent légèrement les programmes du lycée et laissent entrevoir des éléments de mathématiques supérieures accessibles pour un élève de Terminale. Professeur au Lycée Louis-le-Grand où il enseigne les mathématiques en préparation MP, Nicolas Tosel nous donne ici un ouvrage de tout premier ordre.Fruit d'une réflexion pédagogique approfondie, ce livre doit significativement aux contributions de Véronique Lods et d'Emmanuelle Toset ainsi qu'aux échanges féconds entre des professeurs en Classe préparatoire ou en Terminale. Cet ouvrage est proposé comme une invitation au plaisir de découvrir les mathématiques comme on les appréhende dans l'enseignement supérieur. Ceux qui s'apprêtent à étudier en Prépa (MPSI, PCSI) ou en Licence scientifique, trouveront en ce livre, durant l'année et pendant l'été, un solide compagnon pour se mettre en situation de réussir dans leurs projets les plus ambitieux.

Informations

Publié par	Rue des écoles
Date de parution	01 janvier 2023
Nombre de lectures	63
EAN13	9782820807175
Langue	Français
Poids de l'ouvrage	1 Mo

Informations légales : prix de location à la page 0,0498€. Cette information est donnée uniquement à titre indicatif conformément à la législation en vigueur.

Extrait

CALCULUS
DU LYCÉE AU SUPÉRIEUR
Consolider et approfondir
e 2 ÉDITION
Auteurs
Nicolas Tosel
avec Véronique Lods
et Emmanuelle Tosel© 2017, Epistemon
ISBN : 9782820807175
Achevé d’imprimer en France par Dupliprint en mai 2017
Dépôt légal : mai 2017Table des matières
Introduction 7
I. Rédaction, modes de raisonnement 13
1. Point de départ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. Le raisonnement par récurrence (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Le par récurrence (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5. Le par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
II. Calculs algébriques 33
6. Généralités et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
X
7. Le symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8. Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Y
9. Le symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
10. Factorielle d’un entier naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11. Coefﬁcients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III. Trigonométrie et nombres complexes 50
12. T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
13. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
IV. Inégalités, trinôme du second degré réel 60
14. Inégalités et inéquations : méthodes élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . 60
15. Le trinôme du second degré réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
16. L’inégalité de Cauchy-Schwarz pour les sommes . . . . . . . . . . . . . . . 66
V. Dérivation 68
17. Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
18. Tangente à un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
19. Étude de fonctions et résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
20. Démonstration d’inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774
VI. Calcul des limites 79
21. Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
22. Utilisation d’un taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
23. Mise en facteur du terme prépondérant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
VII. Intégration 85
24. Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
25. L’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
VIII. Nombres complexes, deuxième épisode 92
26. Technique de l’arc moitié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
27. Calcul de sommes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
28. Racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
29. La formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
30. Digression arithmétique : le petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . 102
c a
31. Interprétation géométrique du module et de l’argument de . . . . . . 103
b a
32. L’inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
IX. Polynômes 109
33. Généralités sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
34. Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
35. Rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
36. L’équation du second degré dansC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
37. Somme et produit des racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
X. Dérivation, deuxième épisode 125
38. Caractérisation des fonctions constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
39. La condition nécessaire d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
040. L’équation différentielley = y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
00 2 00 2
41. Les équations différentiellesy +! y = 0 ety ! y = 0 . . . . . . . . . . 129
XI. De nouvelles fonctions 135
42. Les fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355
43. L’inégalité arithmético-géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
44. La fonction Arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
XII. Calcul des limites, deuxième épisode 146
45. Croissances comparées usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
46. Utilisation de la forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
XIII. Intégration, deuxième épisode 151
47. Les intégrales de Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
48. Le développement en série entière de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . 153
49. Quelques séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
50. La méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
XIV. Problèmes 162
2
51. Problème 1 : irrationalité de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
52. Corrigé du problème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
53. Commentaire sur le problème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
54. Problème 2 : deux calculs de(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
55. Corrigé du problème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
56. Commentaires sur le problème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
57. Problème 3 : quelques utilisations des racines de l’unité . . . . . . . . . . . 175
58. Corrigé du problème 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
59. Commentaires sur le problème 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
60. Problème 4 : impossibilité de la duplication du cube . . . . . . . . . . . . . 181
61. Corrigé du problème 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
62. Commentaires sur le problème 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
XV. Indications et solutions pour les exercices 19067
Introduction
Ce livre est une version corrigée et enrichie d’un document en libre accès sur le site du lycée
Louis-le-Grand, auquel l’insistance amicale de Denis Monasse et de Michel Bouchaud nous
a convaincus de donner une diffusion plus large. Il poursuit deux buts étroitement liés.
– Donner un outil de préparation efﬁcace aux ﬁlières mathématiques de l’enseignement
supérieur, à travers un travail personnel centré sur la résolution d’exercices variés.
1– Présenter des mathématiques dépassant un peu la classe de terminale S, en restant
accessible à un élève de ce niveau.
Le public visé est donc en premier lieu celui des élèves de terminale S désireux
d’approfondissements : le livre s’adresse ainsi aux candidats aux CPGE, en particulier (mais pas
seulement) MPSI-PCSI, également aux futurs étudiants de L1. Les professeurs souhaitant
préparer leurs élèves à l’après-baccalauréat devraient eux aussi trouver ici un matériel utile.
S’il introduit un certain nombre de notions mathématiques abordées pendant la première
année de l’enseignement supérieur, ce livre n’est en aucune façon un cours de ce niveau, pas
2davantage une préparation au concours général ou aux diverses olympiades . On n’y trouvera
ni exposé fondamental prenant les notions à leur début, ni thèmes entièrement déconnectés
de l’enseignement reçu au lycée. Le choix est de partir du programme de terminale S et
d’ampliﬁer ce corpus dans un esprit proche du Calculus anglo-saxon. Cet ouvrage peut ainsi
être utilisé tout au long de l’année de terminale.
Contenu du livre
Pour répondre aux objectifs ci-dessus, le texte est divisé en quinze chapitres.
Les sept premiers restent proches du lycée. Le programme de terminale est cependant
complété sur quelques points importants (quantiﬁcateurs, sommes et produits, dérivée d’une
composée, intégration par parties...). Les calculs sont quasi-systématiquement littéraux.
Les six chapitres suivants constituent un premier pas signiﬁcatif dans les mathématiques
de l’enseignement supérieur. Décrivons-en brièvement le contenu.
– Le volet algébrique est constitué de deux chapitres étroitement liés, proposant
respectivement des compléments relatifs aux nombres complexes et une introduction aux polynômes.
– Le volet analytique prolonge les thèmes abordés dans la première partie (dérivation,
limites, intégration). On introduit notamment les fonctions puissances d’exposants non entiers.
Ces choix ont une certaine cohérence avec le développement historique des
mathématiques. Déjà présente dans l’Antiquité, mais limitée par l’absence de bonnes notations et un
lien trop systématique avec la géométrie, l’algèbre se développe à partir de la Renaissance;
ejusqu’au milieu du XIX siècle, elle aura pour thème central l’étude des équations
algébriques (i.e. polynomiales), d’où sont issus les nombres complexes. L’acte de naissance de
1. Voire beaucoup dans la deuxième moitié du texte.
2. Ces compétitions périscolaires contribuent de manière très positive à la diffusion et à l’enseignement
des mathématiques. Cependant, leur nature fait qu’elles ne sont pas directement appropriées à l’objectif
poursuivi dans ce livre.8
el’analyse est l’invention, au XVII siècle, du calcul différentiel et intégral, dont la mise au
point se poursuit pendant les deux siècles suivants. Ces notions restent fondamentales, pour
les mathématiques elles-mêmes comme pour leurs applications.
Le chapitre XIV est constitué de quatre problèmes abordables après l’étude de certains
chapitres de ce livre, mais au niveau d’une première année post-bac; le prérequis est explicité
au début de chaque sujet. Ces textes mettent en jeu de nombreuses techniques et permettent
ainsi un entraînement d’un type un peu différent de celui des exercices. Leur format fait
qu’