Vortex invariants and toric manifolds [Elektronische Ressource] / Jan Wehrheim

Jan WehrheimVORTEX INVARIANTSandTORIC MANIFOLDSDissertation an der Fakult¨at fur¨ Mathematik, Informatik undStatistik der Ludwig-Maximilians-Universit¨at Mun¨ chenvorgelegt am 21.5.20081. Gutachter: Prof. Kai Cieliebak, LMU Munc¨ hen2. Gutachter: Prof. Dietmar Salamon, ETH Zuric¨ hTag des Rigorosums: 9.7.2008RZCCZusammenfassungWir betrachten die in [CGMS] eingefu¨hrten symplektischen Vortex Gleichun-Ngen fur¨ den Fall einer Hamiltonschen Gruppenwirkung eines Torus T auf .Der Konfigurationsraum der symplektischen Vortex Gleichungen besteht ausNPaaren (u,A) von T-¨aquivarianten Abbildungen u : P −→ und Zusam-1menh¨angenA∈Ω (P),wobeiP einT-Prinzipalbun¨ delub¨ ereinergeschlossenenRiemannschen Fl¨ache Σ ist.Wir zeigen, daß der Modulraum der Vortex Gleichungen die Struktur einer2torischen Mannigfaltigkeit tr¨agt, falls Σ = S gilt (Theorem 8.10). Fu¨rFl¨achen Σ von allgemeinem Geschlecht zeigen wir unter gewissen zus¨atzlichenAnnahmen, daß der Modulraum ein Faserbu¨ndel u¨ber dem Jacobischen TorusdimT1 1H (Σ; )/H (Σ; ) mit torischer Faser ist (Theorem 8.11).Diese Beobachtung fuh¨ rt zu einer Vereinfachung in der Berechnung derzugeh¨origen Vortex Invarianten. Wir zeigen, daß die entsprechende ’wallcrossing’ Formel in [CS] direkte Konsequenz einer Lokalisierungsformel fu¨rbestimmte Integrale ub¨ er torische Mannigfaltigkeiten ist. Wir beweisendiese Lokalisierungsformel, indem wir eine relative Version der Atiyah-BottLokalisierung (Theorem 4.