Points extémaux d'un graphe de rectangles

´Points extemaux d’un graphe de
rectangles
par Franc ¸ois Xavier Vialard
´Ecole normale superieur´ e, Paris
´ ´RESUME. Demonstr´ ation combinatoire d’une propriet´ e´ d’integr´ alite´ relative aux partitions d’un rec
tangle en rectangles.
´MOTS CLES : Graphe de rectangles, noeud, multiplicite,´ sommet,partition, entier, action de groupe.
On presente´ dans cet article une demonstration´ combinatoitre de la proposition 1. Dans toute
´ ´la suite, tous les rectangles consideres ont une aire strictement positive.
Proposition 1 Soit un rectangle R et une partition de ce rectangle en un nombre fini de
rectangles. Si on suppose que chaque rectangle de la partition a au moins un cotˆ e´ entier,
alors le rectangle initial R a au moins un cotˆ e´ entier.
Une preuve analytique de ce resultat´ est bien connue : il suffit de trouver une propriet´ e´ ad
ditive caracterisant´ le fait pour un rectangle d’avoir un cotˆ e´ entier . Par exemple l’integrale´
de la fonction(x;y)!sin(2…x)sin(2…y) sur un rectangle quelconque est nulle si et seule
ment si un cotˆ e´ du rectangle est entier. Ainsi, si cette fonction est d’integrale´ nulle sur chaque
ˆ ˆrectangle de la partition, il en est de meme pour le rectangle initial, qui jouit donc de la meme
propriet´ e.´
Une autre approche, tout aussi naturelle consiste a` ”suivre le cotˆ e´ entier” pour aboutir a` un
autre sommet. Cette demarche´ nous permet d’obtenir une demonstration´ de la proposition 1
qui ne fait appel qu’a` la notion de groupe ...