Domaines nodaux et partitions spectrales minimales

page

Catalan

Documents

Lire

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

page

Catalan

Documents

Lire

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

Publié par

Shawyog

Langue

Catalan

Domaines nodaux et partitions spectrales minimales
¨Virginie BONNAILLIE-NOEL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne
Bernard HELFFER, Universit´e Paris Sud
Gr´egory VIAL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne
Mots-cl´es : domaine nodal, 3-partition, modes propres du ...

Voir

Publié par

Shawyog

Langue

Catalan

Domaines nodaux et partitions spectrales minimales ¨ Virginie BONNAILLIE-NOEL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne Bernard HELFFERni,Ue´tisrevduSsiraP Gre´goryVIAL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne Mots-cl´es:domaine nodal, 3-partition, modes propres du Laplacien. 2 Onconside`reundomaineborne´ΩdeR.exeosnOiahuocet´e,rligueternncortemprendrelelienen certainesk-partitions de Ω et les ensembles nodaux des vecteurs propres du Laplacien sur Ω avec condition k de Dirichlet.On noteDkl’ensemble desk-partitionsD= (Di)i=1de Ω telles que Int(∪iDi)\∂Ω = Ω.

Onde´ﬁnitalors Lk(Ω) = inf{max{λ1(Di), i= 1, . . . , k},D ∈ Dk}, e ou`λj(Daelgne´isd)jpitetsplupruelavelederpornsieurar´ealisationdeDricilhteudaLlpcaD. Une partitionquire´aliseleminimumestappel´eek-partition minimale.Il est facile de montrer que

L2(Ω) =λ2(Ω).

e Danscecas,lesensemblesnodauxdu2vecteurproprefournissentune2-partitionminimale.De`sque k≥Si on note3, les choses ne sont plus aussi simples.Lk(Ω) la plus petite valeur propre telle qu’il existe unefonctionpropreassoci´eequipose`dekensembles nodaux, alors on peut montrer que

λk(Ω)≤Lk(Ω)≤Lk(Ω).

Iln’estpasdiﬃciledevoirquepourlecarr´eetledisque,ona´egalite´danslarelationpr´ece´dentepour k= 1,2,orsqctelstriit´eeu´nitlagee4ksen,uostsereser.3nE=urﬁgonxcauntnaiguqirte´myssnoita utilisonslam´ethodedes´ele´mentsﬁnispourconstruiredescandidatsaux3-partitionsminimalesdudisque etducarre´.

Nousrappelleronsquelquesre´sultatsde[3]surlespartitionsminimalesetproposeronsdessimulations num´eriques(voir[1,2])pourconfortercertainesconjectures.

Re´f´erences [1]V.nnBollai-NiedG.Vial¨oleB,H.leffrena,Numerical simulations for nodal domains and spectral minimal partitions,07-,RMARpiuobnlIiPcra´et00.7532, [2]ndla¨eNoe-liilnaB.noVlaiV.G,Computations for nodal domains and spectral minimal parti-tions,http://www.bretagne.ens-cachan.fr/math/simulations/MinimalPartitions, 2008. [3]B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof and S. Terracini,Nodal domains and spectral minimal partitions80.P,20l’IHesdennalAxuaertıˆarapA,

¨ Virginie BONNAILLIE-NOEL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne, UEB, av Robert Schuman, 35170 Bruz Virginie.Bonnaillie@bretagne.ens-cachan.fr Bernard HELFFERSud,91405OrsaycedneUxvireis´tPerasiquti,Best.ˆa5,42emetedtnhtaMame´epar,D´ Bernard.Helffer@math.u-psud.fr Gr´egoryVIAL, IRMAR, ENS Cachan Bretagne, UEB, av Robert Schuman, 35170 Bruz Gre´gory.Vial@bretagne.ens-cachan.fr

Voir