Coalescents échangeables et flots de ponts

Coalescents échangeables et flots de ponts
MÉMOIRE DE M2 RÉALISÉ SOUS LA DIRECTION D’AMAURY LAMBERT
Patrick Hoscheit
Soutenu le 15 janvier 2009Table des matières
1 Rappels 4
1.1 Modèles de population . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Modèle de Cannings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 de Wright-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Partitions aléatoires échangeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Théorie des coalescents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Coalescent de Kingman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 -coalescent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 -coalescents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Représentations de généalogies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Correspondance de Bertoin-Le Gall 23
2.1 Ponts échangeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Construction de partitions aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Théorème de correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Construction poissonnienne du flot associé à un -coalescent . . . . . . 30
2.4.1 Construction de Pitman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Limites de flots simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...