Sur l'algèbre et la combinatoire des sous-graphes d'un graphe, On algebraic and combinatorial aspects of the subgraphs of a graph

Sous la direction de John Adrian Bondy
Thèse soutenue le 30 novembre 2009: Lyon 1
On introduit une nouvelle structure algébrique qui formalise bien les problèmes de reconstruction, assortie d’une conjecture qui permettrait de traiter directement des symétries. Le cadre fournit par cette étude permet de plus d’engendrer des relations qui ont lieu entre les nombres de sous-structures, et d’une certaine façon, la conjecture formulée affirme qu’on les obtient toutes. De plus, la généralisation des résultats précédemment obtenus pour la reconstruction permet de chercher `a en apprécier les limites en recherchant des cas où ces relations sont optimales. Ainsi, on montre que les théorèmes de V.Müller et de L.Lovasz sont les meilleurs possibles en exhibant des cas limites. Cette généralisation aux algèbres d’invariants, déjà effectuée par P.J.Cameron et V.B.Mnukhin, permet de placer les problèmes de reconstruction en tenaille entre d’une part des relations (fournies) que l’on veut exploiter, et des exemples qui établissent l’optimalité du résultat. Ainsi, sans aucune donnée sur le groupe, le résultat de L.Lovasz est le meilleur possible, et si l’on considère l’ordre du groupe, le résultat de V.Müller est le meilleur possible.
-Reconstruction
-Graphes
-Conjecture d’Ulam
-Sous-ensembles
-Algèbre d’invariants
-Ensemble partiellement ordonné
-Groupe agissant sur un ensemble partiellement ordonné
-Coefficients binomiaux
A new algebraic structure is described, that is a useful framework in whichreconstruction problems and results can be expressed. A conjecture is madewhich would, provided it is true, help to address the problem of symmetries.A consequence of the abstract language in which the theory is formulated isthe expression of relations between the numbers of substructures of a structure(for example, the number of subgraphs of a given type in a graph).Moreover, a generalisation similar to the one achieved by P.J.Cameron andV.B.Mnukhin of the results of edge reconstruction to invariant algebras isstated. Examples are then provided to show that the result of L.Lovasz isbest possible if one knows nothing about the underlying group, and that theresult of V.Müller is best possible if one knows only the order of the group.Thus, reconstruction problems are set in a theory that generates relationsto address them, and at the same time, provides examples establishing thesharpness of the theorems.
-Reconstruction
-Graphs
-Ulam’s conjecture
-Subsets
-Invariant algebras
-Posets
-Groups acting on posets
-Binomial coefficients
Source: http://www.theses.fr/2009LYO10253/document