Statistique et modèles aléatoires

Statistique et modeles` aleatoires´
Dominique Picard
27 mars 20032Chapitre 1
1. METHODOLOGIE STATISTIQUE
`1.1 Introduction. Modelisation statistique.
`A la base, le statisticien dispose d’une observation x a` valeurs dans un espace X . La
modelisation` consiste a` faire l’hypothese` que cette observation est la realisation´ X(!) d’une
variable aleatoire´ X, a` valeurs dans (X;A). (A est alors une tribu surX et ! appartient a` un
ensemble .)
Formellement, on a un triplet ( ;F; P) c’est a` dire queF est une tribu sur , et P une mesure
de probabilite´ surF.
X est une application mesurable de ( ;F) dans (X;A), et la loi de X, P , est la mesureX
image de P par X definie´ pour tout ensemble A deA par la formule
X 1P (A) = P(X (A)):
n nEn statistique, nous verrons que X est souvent R ou un sous ensemble de R , A est
gen´ eralement´ sa tribu borelienne, et l’espace ( ;F) joue un roleˆ tres` auxiliaire. La plupart
du temps, on peut identifier ( ;F) et (X;A), de sorte que X devient l’application identite.´
Definition´ 1 On appelle Modele` statistique ou Experience´ la donnee´ de la famille :
( ;F; X;X;A; P ; 2 ) ou`
– X;A est l’espace des realisations´ de la variable aleatoir´ e X definie´ sur ( ;F).
– est l’ensemble des parametr` es.
– P est une loi de probabilite´ sur ( ;F).
Le statisticien fait donc l’hypothese` que son observation x est la realisation´ d’une variable
aleatoire´ (i.e. il existe !; x = X(!)) et qu’il existe tel que ! est tire´ selon la loi P (la loi de
XX est ...