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SUR LE VOLUME DES SIMPLEXES´HYPERBOLIQUES IDEAUXRichard PereyrolUniversit´e Joseph Fourier Grenoble I – Institut FourierSous la direction de G´erard Besson21 d´ecembre 200123Je remercie vivement G´erard Besson, mon directeur de th`ese pour les´el´ements math´ematiques et le soutien qu’il m’a apport´es durant ce travail.Je remercie aussi Ruth Kellerhals et Jean-Louis Cathelineau pour l’hon-neur qu’ils m’ont fait d’ˆetre rapporteurs et membres du jury. Jos´e Bertinet Lucien Guillou ont accept´e de participer au jury et je leur en suis tr`esreconnaissant.Enfin, je n’oublie pas les membres de l’Institut Fourier et notammentArlette Guttin-Lombard, pour sa patience et son efficacit´e, Vincent Bayleet Vidian Rousse pour les nombreuses remarques et corrections.45Table des mati`eres1 Calcul du volume hyperbolique 91.1 Aire des triangles hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Volume des t´etra`edres hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Th´eor`eme de Haagerup-Munkholm . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Une formule due `a Milnor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 La Formule de Schlafli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14?1.6 Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Une formule de calcul du volume des simplexes 172.1 Aire des triangles euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Les simplexes hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 Les simplexes ...