these-imekraz-fr-resume

Description de la theseRa k ImekrazMots clefs : Forme normale de Birkho , equation NLS, EDP hamiltonienne, StabiliteOn etudie d’un point de vue dynamique les EDP non lineaires de Schr odinger du typedi@ (t;x) = ( +V (x)) (t;x) +@ g( ; ); (t;x)2RRt 22ou g :C !C est une fonction holomorphe telle que g(z;z)2R et qui admet (0; 0) comme zero d’ordre 3,s=2V (x) un polyn^ ome con nant et ou la condition initiale (0;x) est dans un espace de type Sobolev Dom(T )avec T = +V (x). Cette EDP est hamiltonienne et on l’aborde avec des methodes de formes normalesde Birkho .Pour des regularites tres grandes, i.e. s 1, et pour une condition initiale =jj (0;)jj 1, onss’interesse aux proprietes suivantes pour r arbitrairement grand0 r r s=2i) existence et unicite d’une solution dans l’espaceC ([ c(r) ;c(r) ]; Dom(T ))ii) contr^ ole des normesjj (t;)jj 2sPiii) en notant T = et (t) = z (t) , on a la presque conservation des actions :j j j j jj1Xs 2 2 3jjz (t)j j z (0)jjCj jjj1De maniere heuristique, la propriete iii) signi e qu’il y a tres peu d’echange d’energie entre les modespropres. Ce genre de questions a dej a ete aborde pour diverses equations (ondes, Schr odinger, Klein-Gordon)notamment par Bourgain, Grebert ([9]), Bambusi ([2]), Bambusi et Grebert ([4, 3]), Delort et Szeftel ([6, 7]).Dans tous les cas envisages, la comprehension de l’EDP lineaire et de ses modes propres est cruciale (voir lespoints a) ...