étude du signe d'une expression

FICHE MÉTHODE : ÉTUDIER LE SIGNE D'UNE EXPRESSIONEn Mathématiques, on est souvent amené à étudier le signe d'une expression. Cela peut se produire lors de l'étude des variations d'une fonction(car le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction). Cela peut également se produire lors de l'étude de la position d'une courbe parrapport à une autre. Ou, tout simplement, pour établir certaines inégalités.Le problème de l'étude du signe, c'est que, suivant la nature de l'expression, la stratégie n'est pas toujours la même. Tantôt, le signe est immédiat,tantôt on procède à une factorisation puis on dresse un tableau de signes, tantôt on peut obtenir le signe en manipulant des inégalités. L'objectif decette fiche méthode est de vous présenter ces différentes stratégies possibles.Exemple 1 : cas où le signe est immédiatement visible (ou presque !)2 - xSoit ƒ la fonction définie, sur  , par : ƒ(x) = -( x + 2x + 2) ePréciser le sens de variation de la fonction ƒ.SOLUTION :Nous savons que le sens de variation de ƒ est donné par le signe de sa dérivée ƒ'. Calculons donc ƒ'.2ìïux()=-(x +2x+2)La fonction ƒ est du type : ƒ = uv avec í -xïvx()=eîOn a donc : ƒ'= u'v + uv'- x 2 -xCe qui donne : ƒ'(x) = (-2x - 2) e - ( x + 2x + 2) · (- e )-x 2 - xEn factorisant par e , puis en réduisant : ƒ'(x) = x e2 -xOr, on sait que : x  0 et e > 0 pour tout réel xOn a donc : ƒ'(x)  0 pour tout réel xConclusion : la fonction ƒ est strictement croissante sur  ...