cours sur les espaces de probabilités

Chapter 4Retour sur les espaces de probabilit´esSommaire4.1 Propri´et´es suppl´ementaires d’une probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Notion de presque-suˆr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Lemme de Borel-Cantelli et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Objectifs:Compl´eter notre ´eventail de propri´et´es d’une probabilit´e en ajoutant les propri´et´es qui font intervenir une suiteinfinie d’´ev´enements.Mots-cl´es:• limite monotone d’´ev´enements.• limite sup et limite inf d´ev´enements.Outils:• Propri´et´es de limites monotones.• Lemme de Borel-Cantelli. n√n• Formule de Stirling: n!∼ 2πn.eTechniques de d´emonstration:• Construction d’une famille d’´ev´enements disjoints a` partir d’une famille d´ev´enements quelconques.•Utilisationdespropri´et´esdess´eriesconvergentesetdivergentesdanslad´emonstrationdulemmedeBorel-Cantelli.• Des in´egalit´es utiles:1∀p∈ [0,1], p(1−p)≤ .4∀x >−1, ln(1+x)≤ x.∀x∈R, exp(x)−1≥ x.6On a vu dans le chapitre pr´ec´edent de nombreux exemples ou` le cadre d’un univers fini n’est pas suffisant.Quand l’univers consid´er´e est infini, il devient int´eressant de traiter des suites d’´ev´enements. Nous allons doncrajouter `a notre ´eventail de propri´et´es des propri´et´es faisant intervenir des suites d’´ev´enements.4.1 Propri´et´es suppl´ementaires d’une probabilit´eSoit (Ω,F,P) un espace ...