Cours sur la variatétés de dimension

6Chapitre 1Vari´et´es de dimension 3 et 4,invariants classiques1.1 Vari´et´es `a bord, recollementOn rappelle qu’une vari´et´e topologique de dimension n est un espace topologiques´epar´e d´enombrable `a l’infini, dont tout point a un voisinage hom´eomorphe `a un ouvertn n n−1de R . En rempla¸cant R par le demi-espace ]−∞,0]×R on obtient la notion devari´et´e `a bord.Exercice 1.1.1. a) Montrer que la dimension est bien d´efinie : une vari´et´e de dimensionn n’est pas hom´eomorphe `a une vari´et´e de dimension m =n.b) D´efinir le bord d’une vari´et´e et montrer que c’est une vari´et´e de dimension n−1.Exercice 1.1.2. a)Montrerquetoutevari´et´ecompacteseplongedansunespaceeuclidienNR .∞ nb) Montrer plus g´en´eralement que toute vari´et´e se plonge dansR = lim R (pr´ecisern−→∞la topologie surR ).Une vari´et´e lisse est une vari´et´e munie d’un atlas maximal dont les changements de∞carte sont de classe C . Dans ce cours nous consid´ererons le plus souvent des vari´et´eslisses.Remarque 1.1.3. Lesvari´et´estopologiquesdedimensioninf´erieureou´egale`a3admettentune structure lisse unique `a diff´eomorphisme pr`es.Nous envisagerons ´egalement des vari´et´es avec structure PL (lin´eaires par morceaux);une structure PL est une classe d’´equivalence de triangulations, deux triangulations´etant ´equivalentes si et seulement si elles admettent une subdivision commune. Unestructure lisse d´efinit une structure PL repr´esent´ee par n’importe quelle triangulation1de ...