Cours-FI-III

Chapitre 3Elements de la theorie desmartingales3.1 De nitions et proprietes3.1.1 CaracterisationsDe nition 3.1.1 Une martingale est un processus aleatoire M = (M ) , ak 0knvaleurs reelles, de ni sur un espace probabilise ltr e ( ; (F ) ;P), et veri antk 0knla propriete suivante80 k < n E(M j F ) = Mk+1 k kOn dit aussi qu’un processus aleatoire reel M = (M ) est une sous-martingalek 0kn(resp. une sur-martingale), s’il veri e les inegalites suivantes80 k < n E(M j F ) M (resp. E(M j F ) M )k+1 k k k+1 k kLes proprietes de martingales que nous avons introduites precisent les tendances locales d’unprocessus aleatoire. Plus precisement, on note que tout processus aleatoire M = (M )k 0knpeut se mettre sous la formekXM = M + M avec M = (M M )k 0 k k k k 1l=1La propriete de martingale (resp. sous-martingale, ou sur-martingale), exprime le fait que lesaccroissements conditionnels moyens et previsibles, sont nuls (resp. positifs, ou negatifs).Supposons par exemple que M represente l’evolution aleatoire de la fortune d’un joueur.kDans ce cas, la propriete de martingale exprime le fait que le jeu est equitable en moyenne, en81 82 CHAPITRE 3. ELEMENTS DE LA THEORIE DES MARTINGALESce sens ou le joueur ne peut accro^ tre ou diminuer son esperance de gain (M M ), a l’aidek+1 kdes information precedentesE(M M jF ) = 0k+1 k kOn remarquera dans ce cas que le fortune moyenne du joueur reste ...