Cours - Comparaison des suites

bbbbbbbc Christophe Bertault - MPSIComparaison des suitesDans l’armoire des suites, la notion de limite crée des tiroirs qui permettent de faire un certain tri : dans le « tiroir∞ » sontrangées toutes les suites de limite∞, dans le « tiroir 2 » toutes les suites de limite 2... et dans le « tiroir sans limite » toutes les2suites sans limites. Or dans certains tiroirs, il serait intéressant que de nouveaux sous-tiroirs soient créés : les suites (n ) etn∈Nn(2 ) , par exemple, sont toutes deux dans le « tiroir∞ », mais on sent bien qu’elles portent des infinis de tailles différentes;n∈N 1 1même chose dans le « tiroir 0 » avec les suites et .nn 2∗n∈N n∈NLa figure ci-dessous résume schématiquement l’ambition de ce chapitre.Pas de −∞ π ∞−2 0 1 limiteLes tiroirs« limite » √ n 3 −n −2 n nsinn−n e n! 1 n (−1)− √ 1 1 n3 −n −n n+ n nn + n!−4 e −n +2n e 4 n+lnnn−2 n sinn √n nLes nouveaux 4 n 2−2 n n (n+2)! e nsinn1−n n+1 (−1) n−√ √ √ 2 3n 4tiroirs! −n 4 2 3n n+ n n +1n+sinn e +n 1+e n +3 n +2 e +1 ... ... ... ... ... ... ... ... √n n3 1 −n« Tiroir−2 » « Tiroir n » « Tiroir n! » « Tiroir (−1) » « Tiroir nsinn »« Tiroir−n » « Tiroir− » « Tiroir e »n1 Négligeabilité1.1 DéfinitionDéfinition (Négligeabilité) Soient (u ) et (v ) deux suites. On dit que (u ) est négligeable devant (v ) s’iln n∈N n n∈N n n∈N n n∈Nexiste une suite (ε ) de limite nulle et un rang à partir duquel u = ε v . Cette relation se note u = o(v ) et se litn n∈N n n n n ...