Cours-AN3-1

COURS 1 : La droite réelleLe continu mathématique et le continu physique.1Hermann Weyl :«Une chose est certaine : le continu intuitif et le continu mathématiquene se recouvrent pas; entre eux est installé un gouffre profond...La reconstruction mathé-matique du continu à partir d’unités indivisibles sélectionne dans la bouillie fluente ducontinu en quelque sorte un tas de points individuels. Le continu est émietté en élémentsisolés.(...) Je parle pour cette raison de conception atomiste du continu. »2HenriPoincaré :«Sil’onveutsavoircequelesmathématiciensentendentparuncontinu,ce n’est pas à la géométrie qu’il faut le demander. Le géomètre cherche toujours plus oumoins à se représenter les figures qu’il étudie, mais ses représentations ne sont pour luique des instruments; il fait de la géométrie avec de l’étendue comme il en fait avec de lacraie; aussi doit on prendre garde d’attacher trop d’importance à des accidents qui n’enont souvent pas plus que la blancheur de la craie.L’analyste pur n’a pas à craindre cet écueil. Il a dégagé la science mathématiques detous les éléments étrangers, et il peut répondre à notre question. Qu’est-ce au juste quece continu sur lequel les mathématiciens raisonnent? Beaucoup d’entre eux, qui saventréfléchir sur leur art, l’ont fait déjà; M. Tannery, par exemple, dans son Introduction à lathéorie des Fonctions d’une variable.Partons de l’échelle des nombres entiers; entre deux échelons consécutifs, intercalons unou plusieurs ...