cours-agreg

66I. Ind´ependance (ne pas faire en cours)Formule des probabilit´es conditionnelles.Soit (B) une famille finie ou d´enombrable d’´ev´enementsi i∈I1. D´efinitions [disjoints de Ω telle que B =Ω et P(B)>0. Alorsi ii∈IXD´efinition.P(A)= P(A|B)P(B).i iSoit A et B deux ´ev´enements, avec P(B) > 0. Lai∈Iprobabilit´e conditionnelle de A sachant B estFormule surtout utilis´ee quand Ω est fini ou d´enombrable.P(A∩B)defP(A|B) = . Exemple. L’examenestunQCM.LecandidatalechoixentreP(B)n r´eponses. On suppose que s’il ne connaˆıt pas la r´eponse, ilr´epond au hasard.´ev´enement A : le candidat r´epond juste.Si X est une v.a., on peut consid´erer des ´ev´enement B : le candidat connaˆıt la r´eponse.On a B⊂A.´ev´enements de la forme {X ∈A}.Calculons la probabilit´e P(A) (ce qui est observ´e par le cor-recteur) en fonction de P(B).Exemple : on lance un d´e. X est le r´esultat obtenu,Y vaut 0 si le r´esultat est pair et 1 sinon.c cP(A) = P(A|B)P(B)+P(A|B )P(B )| {z } | {z }=1 =1/nP(X =6,Y =0) 11P(X =6|Y =0)= = = P(B)+ (1−B(B))P(Y =0) 3 n= P(B)(1−1/n)+1/nP(X =6|Y =1)=01Intuitivement, A et B sont ind´ependants si la Contre-exemple.Soit Ω={1,...,8} et P la probabilit´e uniforme.connaissance de B ne donne pas d’information surSoit A={1,2,3,4}, B ={4,5,6,7}, C ={2,4,6,8}.A, c’est-`a-dire P(A|B) = P(A). Ce qui ´equivaut `a1On a P(A)=P(B)=P(C)= .2P(A∩B)=P(A)P(B).1P(A∩B∩C)=P({4})= =P(A)P(B)P(C).81 1Mais P(A∩B)= =P(A)P(B)= .8 4Ex : si on lance un d´e et une ...