Rappels de physique statistique

Formation Interuniversitaire de Physique Introduction `a l’astrophysique
Option de L3 Steven Balbus
Ecole Normale Sup´erieure de Paris Fran¸cois Levrier
` ´Cinquieme TD - Corrige
22 octobre 2010
I - Rappels de physique statistique
1. En physique statistique des gaz de fermions, le nombre d’occupation moyen d’un ´etat
individuel|λ est donn´e par la statistique de Fermi-Dirac
1
N =λ β(ε −μ)λe +1
Dans cette expression, on pose β = 1/(k T), ε est l’´energie de l’´etat|λ et μ le potentielB λ
chimique.Onnoteε l’´energieduniveaufondamentald’uneparticule.Onvoitquelenombre0
d’occupation moyen est au plus ´egal a` un, et N d´ecroˆıt lorsque l’´energie ε augmente. Laλ λ
courberepr´esentantce nombreenfonctionde l’´energieestsym´etriqueparrapport`aε =μ:λ
1
n (x) = ⇒ n (μ+δ) = 1−n (μ−δ)FD FD FDβ(x−μ)e +1
Elle tend vers 1 aux faibles ´energies ε → −∞ et vers 0 aux hautes ´energies ε → +∞.λ λ
′D’autre part, comme n (μ) = −β/4, la temp´erature fixe la rapidit´e de transition d’uneFD
`asymptote a` l’autre, qui est d’autant plus grande que T est faible et β grand. A la limite
T = 0, la courbe tend vers une fonction de type Heaviside
T T T = 02 1
T3
ε /μλ
Fig. 1.1 – Distribution de Fermi-Dirac pour trois temp´eratures T < T < T , ainsi qu’`a1 2 3
temp´erature nulle.
T → 0 =⇒ n (x)→θ(μ−x)FD
N
λOnpeutmontrerqu’`ahautestemp´eratures,onretrouveladistributiondeMaxwell-Boltzmann:
−β(x−μ)n (x)−→eFD
Danscecas,leseffetsquantiquesdelanaturedesparticules(principed’exclusiondePauliici)
n’interviennent ...