Quantum cluster algebras and the dual canonical basis [Elektronische Ressource] / Philipp Lampe

QuantumclusteralgebrasandthedualcanonicalbasisDissertationzurErlangungeinesDoktortitels(Dr. rer. nat.)derMathematisch NaturwissenschaftlichenFakult at¨derRheinischenFriedrich WilhelmsUniversit at¨ BonnvorgelegtvonPhilippLampeausRheineBonn,2010AngefertigtmitGenehmigungderMathematisch-NaturwissenschaftlichenFakultat¨ derRheinischenFriedrich-Wilhelms-Universitat¨ BonnErstgutachter: Prof. Dr. JanSchroer¨Zweitgutachterin: Prof. Dr. CatharinaStroppelTagderPromotion: 28.02.2011JahrderVerof¨ fentlichung: 20112ZusammenfassungSeiQ ein Dynkinkocher¨ vom TypA mit alternierender Orientierung oder der Kronec kerkocher¨ . Wir betrachten die direkte Summe M der unzerlegbaren, injektiven Mo ¨ ¨duln uber der Wegealgebra des Kochers und ihrer Auslander Reiten Verschiebungen.Sei g die zu Q assoziierte komplexe Liealgebra. Sie besitzt eine Dreieckszerlegungg = n ⊕ h⊕ n. Hierbei ist n eine maximal nilpotente Unterliealgebra von g. Zu−M gehort¨ in naturlicher¨ Weise ein Element w in der Weylgruppe des gleichen Typs.DieDimensionsvektorenderunzerlegbaren,injektivenModulnundihrerVerschiebun gen entsprechen nach dem Satz von Gabriel bzw. nach dem Satz von Kac positivenWurzelnimWurzelsystemderLiealgebrag. IhreAnordnungerbringteinenreduziertenAusdruckfur¨ dasWeylgruppenelementw.