On formality and solvmanifolds [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Christoph Bock

On Formality and SolvmanifoldsI n a u g u r a l - D i s s e r t a t i o nzurErlangung des Doktorgradesder Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultätder Universität zu Kölnvorgelegt vonChristoph Bockaus Bergisch GladbachHundt Druck, Köln2009Berichterstatter: Prof. Dr. Hansjörg GeigesProf. Dr. George MarinescuTag der mündlichen Prüfung: 4. Februar 2009Für NinaVorwortBis in die siebziger Jahre war nicht bekannt, ob es kompakte symplektische Man-nigfaltigkeiten gibt, die keine Kähler-Struktur tragen. Das erste Beispiel einer sol-chenMannigfaltigkeitwurde1976vonW.P.Thurstonangegeben.Erkonstruiertein [73] eine symplektische vier-dimensionale Nilmannigfaltigkeit (d.i. ein kompak-ter Quotient einer zusammenhängenden und einfach-zusammenhängenden nilpo-tenten Liegruppe nach einer diskreten Untergruppe) mit erster Betti-Zahl b =3.1Aus topologischen Gründen kann diese Mannigfaltigkeit nicht Kählersch sein,denn die Betti-Zahlen b von ungeradem Grad sind für Kähler-Mannigfaltig-2i+1keiten gerade. L. A. Cordero, M. Fernández und A. Gray haben in den achtzigerJahren weitere Beispiele angegeben (vgl. [13]), die aber teilweise gerade Betti-Zahlen haben. Die Autoren weisen nach, daß ihre Beispiele nicht formal sind.Hieraus folgt dann, daß sie auch nicht Kählersch sein können, denn P. Deligne,P. Griffiths, J. Morgan und D. Sullivan haben in [16] bewiesen, daß Formalitätnotwendig für die Existenz von Kähler-Strukturen ist.