cours-tunis

Application de la th´eorie des∗ondelettesVal´erie PerrierLaboratoire de Mod´elisation et Calcul de l’IMAGInstitut National Polytechnique de GrenobleValerie.Perrier@imag.fr∗Enseignement UNESCO Traitement du signal et des images num´eriques, Tunis,ENIT, 14-18 mars 20050-0D´ebruitage par ondelettes orthogonalesR´ef´erences : articles de Donoho et JohnstoneMesures bruit´ees :X[n] =f[n]+W[n], n = 0,N −1X : donn´ees mesur´ees,f : signal (inconnu) de taille N contamin´e par le bruitW : bruit blanc gaussien de moyenne nulle et d’´ecart type σ.˜L’objectif est de construire un estimateur F =D(X) de f minimisant lerisque :N−1n o n oX2 2˜ ˜r(D,f) =E kf −Fk = E |f[n]−F[n]|n=0Estimateurs non lin´eaires sur basesN NSoit B ={g ∈R ; k = 0,N −1} une base orthonorm´ee deR . Onkd´ecompose les donn´ees sur B :N−1XX[n] = g [n]k kk=0et les produits scalaires v´erifient := +k k kRemarques :2• () est ´egalement un bruit blanc gaussien de variance σk(car B est orthonorm´ee).2 2• E{} =|| +σk kOp´erateurs diagonauxUn op´erateur diagonal D dans la base B conduit `a un estimateur de laforme :N−1X˜F =DX = d () gk k kk=0ou` les d sont des fonctions d’att´enuation des coefficients bruit´es.kEstimateur id´eal (i.e. qui minimise le risque r(D,f))N−1X˜F =DX = θ(k) gk kk=0avec8<1 si ||≥σkθ(k) =:0 si ||<σkDans ce cas, l’op´erateur D est un ...