Controlled algebra for simplicial rings and the algebraic K-theory assembly map [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Mark Ullmann

Controlled algebra for simplicial ringsand the algebraic K-theory assembly mapInaugural - DissertationzurErlangung des Doktorgrades derMathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultätder Heinrich-Heine-Universität Düsseldorfvorgelegt vonMark Ullmannaus OsnabrückDüsseldorf, Dezember 2010Diese Forschung wurde gefördert durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft imRahmen des Graduiertenkollegs „Homotopie und Kohomologie“ (GRK 1150)Aus dem Mathematischen Institutder Heinrich-Heine-Universität DüsseldorfGedruckt mit der Genehmigung derMathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät derHeinrich-Heine-Universität DüsseldorfReferent: Prof. Dr. H. ReichKoreferent: Prof. Dr. W. SinghofTag der mündlichen Prüfung: 24. Januar 2011SummaryThe algebraic K-theory Farrell-Jones Conjecture is a conceptional approach tocalculate the algebraic K-groups of a group ring R[G] where R is a simplicial ringwith unit and G an infinite group. It states that the assembly mapG Gh (E G,K )→h (pt,K )VCyc R Rn nis an isomorphism for alln∈Z. The target calculates toK (R[G]), thenth algebraicnK-group of the group ring R[G]. The conjecture has deep connections to geometrictopology. For example forG a torsion-free group andR =Z it predicts the vanishingof the Whitehead group Wh(G) of G and hence by the famous s-cobordism theoremof Barden-Mazur-Stallings and Smale the triviality of each h-cob over adifferentiable manifold of dimension≥ 5 with fundamental group G.