Comportement asymptotique des solutions du problème de Cauchy-Dirichlet généralisé pour des équations de Hamilton-Jacobi visqueuses, Large time behavior of solutions of a generalized Cauchy-Dirichlet problem for viscous Hamilton-Jacobi equations

Sous la direction de Guy Barles, Olivier Ley
Thèse soutenue le 17 juin 2010: Tours
Cette thèse, constituée de trois grandes parties, a pour objet l’étude générale ducomportement, en temps grands, de l’unique solution du problème de Cauchy-Dirichlet pour deséquations de Hamilton-Jacobi visqueuses de type sur et sous quadratiques. Après un bref rappeldes notions de base de la théorie sur les solutions de viscosité qui constitue le cadre de ce travail, lapremière partie établit des résultats sur l’existence globale en temps et l’unicité de la solution deviscosité dudit problème de Cauchy-Dirichlet. La deuxième partie s’intéresse au comportement decette solution pour des Hamiltoniens sur quadratiques. Sous des hypothèses très générales, nousprouvons que le comportement de la solution dépend du signe de l’unique constante ergodiquec du problème ergodique associé à des conditions aux limites de type contrainte d’état. Lorsquec∗ < 0; nous obtenons (i) une convergence vers l’unique solution du problème stationaire associétandis que lorsque c∗ ≥ 0; nous obtenons (ii) un comportement de type Hamilton-Jacobi (ou detype ergodique) se produit. Dans la troisième partie, consacrée à l’étude pour des Hamiltonienssous-quadratiques, nous montrons qu’il se produit un comportement de type (i) lorsque l’uniqueconstante ergodique c∗; du problème ergodique associé à des conditions aux limites de typeexplosives, est strictement négative et lorsque c∗ > 0 et 3/2< m ≤ 2; un comportement de type(ii) se produit, où m représente l’exposant du terme en gradient. Mais lorsque c∗ = 0 ou c∗ > 0et 1 < m ≤ 3/2; nous prouvons que pour certains domaines, la fonction u(x; t) + c∗t n’est pasminorée où u est la solution des équations de Hamilton-Jacobi visqueuses étudiées, produisantainsi un résultat de non-convergence.
-Estimations de type Hölder
-Estimations de type Lipschitz
The main goal of this thesis is the general study of the large time behavior of theunique solution of the Cauchy-Dirichlet problem for viscous Hamilton-Jacobi equations of subandsuperquadratic types. This work splits into three parts. After a brief review of basic conceptsof the theory on the viscosity solutions which is the framework of this work, the first part mainlyprovides results on the global in time existence and the uniqueness of the viscosity solution of theabove mentioned Cauchy-Dirichlet problem. The second part studies the large time behavior ofthat solution for superquadratic Hamiltonians. Under rather general assumtions, we prove thatthe behavior of the solution depends on the the sign of the unique ergodic constant c∗ of theergodic problem associated with boundary condition of state constraint-type. When c∗ < 0; weobtain (i) a convergence to the unique solution of the associated stationary problem whereaswhen c∗ ≥ 0; we obtain (ii) a behavior of Hamilton-Jacobi–type (or ergodic-type) happen.In thethird part, devoted to the study for subquadratic Hamiltonians, we prove that a behavior of(i)-type happens when the unique ergodic constant c∗; of the ergodic problem associated withblow-up boundary condition, is non-positve and when c∗ > 0 and 3/2 < m ≤ 2; we obtain abehavior of (ii)-type. But when c∗ = 0 ou c∗ > 0 et 1 < m ≤ 3/2; we prove that for some domains,the function u(x; t)+c∗t is unbounded from below where u is the solution of the studied viscousHamilton-Jacobi, thus providing us with a result of non-convergence.
Source: http://www.theses.fr/2010TOUR4007/document