Comment démontrer des formules sans effort ? exposé de maîtrise

Comment démontrer des formules sans effort ?
exposé de maîtrise
Marc Mezzarobba Sam Zoghaib
Sujet proposé par François Loeser
Résumé
Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d’évaluer
P
« en forme close », c’est-à-dire sans signe , de vastes classes de sommes
discrètes, et de trouver des démonstrations faciles à vérifier des identi-
tés obtenues. Les principaux ingrédients sont l’algorithme de Gosper, quiPntraite le cas des sommes « indéfinies » t(k), celui de Zeilberger, qui
« devine » une relation de récurrence vérifiée par une somme « définie »P
t(n,k), celui de Petkovšek, qui résout ce type de récurrence, et lesk
certificats WZ, une façon originale de démontrer des formules.
Ces méthodes forment le cœur de l’ouvrage de Petkovšek, Wilf et Zeil-
berger, A = B [1]. Nous ne prétendons pas rivaliser en pédagogie avec
ses auteurs, aussi nous essayons plutôt de donner une présentation plus
concise des seuls résultats importants, sans pour autant omettre de justi-
fication.
1Table des matières
Introduction 3
1 Termes et récurrences 3
1.1 Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Opérateurs sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Termes hypergéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Termes associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Forme normale des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . ...