Bornes dynamiques pour des opérateurs de Schrödinger quasi-périodiques, Dynamical bounds for quasiperiodical Schrödinger operators

Sous la direction de Serguei Tcheremchantsev, Michel Zinsmeister
Thèse soutenue le 23 novembre 2009: Orléans
Nous nous intéressons dans ce travail à la dynamique des opérateurs de Schrödinger unidimensionnels, discrets, associés à un potentiel sturmien quasi-périodique. Le résultat principal de cette thèse est une borne supérieure pour les exposants de transport qui mesurent la vitesse de propagation du système. Cette borne, valide pour presque tous les potentiels sturmiens, est sous balistique pour une force de couplage suffisante. La validité de la borne est couplée à une condition diophantienne liée au nombre irrationnel qui définit le potentiel. Cette condition est vraie presque sûrement. Nous exhibons par ailleurs un exemple d’irrationnel pour lequel une borne supérieure sous balistique est impossible indépendamment de la force de couplage. Nous faisons l’étude de la dimension fractale du spectre de l’opérateur qui minore sous certaines conditions les exposants de transport. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure pour la dimension de boîte du spectre grâce aux propriétés connues sur la forme du pseudo spectre. Les restrictions pour obtenir une borne dynamique à partir de notre résultat sont d’avoir une condition initiale cyclique standard et que le potentiel soit associé à un irrationnel à densité bornée. Enfin dans la dernière partie de ce travail, nous démontrons que le spectre de l’opérateur associé au nombre d’argent ß = [2, 2, . . . ] possède une structure hyperbolique. L’expression du pseudo spectre peut être vu comme un système dynamique. Nous conjuguons ledit système à une dynamique symbolique abstraite selon la méthode dite des partitions de Markov. Le système se comporte comme un fer à cheval de Smale. Nous dérivons de l’hyperbolicité des propriétés pour les dimensions fractales du spectre. Dimensions dont l’attrait dynamique a été rappelé dans la partie précédente. Nous déduisons notamment l’égalité des dimensions de Hausdorff et de boîte pour cet opérateur.
-Potentiel sturmien
-Borne dynamique
In this thesis, we study the dynamics of discrete, one-dimensional, sturmian Schrödinger operators. The main result is a dynamical bound from above for transport exponents that valuate speed of the wavepacket spreading. This bound is true for almost every sturmian potential and is sub-ballistic for a coupling constant big enough. This bound is valid with respect to a diophantine condition on the irrational number that define the potential. This condition is true for almost every irrational numbers. We show an example of irrational number with ballistic motion at any coupling constant. We study the fractal dimension of the spectrum of these operators which can bound from below, under more restrictive assumptions, transport exponents.We get a new bound from below for the box dimension of the spectrum. Assumptions needed to use this bound on dynamical purpose are the initial condition to be cyclic and the potential associated to a bounded means irrational number. In the last part of the thesis, we show that the spectrum of the operator associated to the so-called silver mean ß = [2, 2, . . . ] has a hyperbolic structure. The spectrum can be express as the non wandering set of a dynamical system. Using Markov partition method, we conjugate its dynamics to a symbolic one. The dynamical system behave like a Smale horseshoe. We derive from hyperbolicity spectral information, especially on fractal dimension. For example, we get that Hausdorff and box dimensions coincide for this operator.
-Sturmian Schrödinger operators
-Dynamical bounds
Source: http://www.theses.fr/2009ORLE2042/document