A Casson-Lin invariant for knots in homology 3-spheres [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Jochen Kroll

A Casson-Lin invariant for knotsin homology 3-spheresDISSERTATIONzur Erlangung des Grades eines Doktorsder Naturwissenschaftenvorgelegt vonDipl.-Math. Jochen Krollaus Siegeneingereicht beim Fachbereich 6der Universit¨at SiegenSiegen 2003Gutachter der Dissertation: Prof. Dr. U. KoschorkePD. Dr. U. KaiserDatum der Disputation: 25. April 2003Internetpublikation der Universit¨at Siegen: urn:nbn:de:hbz:467-413Zusammenfassung: Im Jahr 1985 definierte A. Casson eine topologische Invariante λ(Σ)fur¨ Homologie-3-Sph¨aren Σ, die, vereinfacht formuliert, nicht-abelsche SU(2)-Darstellungen derFundamentalgruppe von Σ mit Vorzeichen z¨ahlt. X.-S. Lin griff das konstruktive Prinzip Casson’s3auf und definierte 1992 eine Invariante h(k) fur¨ Knoten k in der 3-Sph¨are S . Die Berechnung vonh(k)fuhrt¨ aufeinenvonLinals“mysteri¨os”eingesch¨atztenZusammenhangmitderKnotensignaturσ , einer klassischen Seifert-Invariante.kIn der vorliegenden Arbeit werden beide Ans¨atze zusammengefuhrt,¨ um unter Verwendung vonαSU(2)-DarstellungenderKnotengruppeπ (Σ−k)eineSchnittzahls (k⊂Σ)zudefinieren(wobeiα1anzeigt, dass fur¨ die Darstellung der Knotenmeridiane SU(2)-Matrizen mit Spur 2cosα, α∈(0,π),αverwendet werden). Das zentrale Resultat ist die Berechnung von s (k⊂Σ) mit Hilfe eines Skein-αAlgorithmus. Aus dieser folgt, dass s (k⊂Σ) eine Invariante fur¨ Knoten in Homologie-3-Sph¨arenist.