Notes-Cours-6

MAT 563 - Notes cours 6 1 mars 2010Classes de Pontryagin Complexification d’un fibre reel SoitE unR-espace vectoriel. Le complexi e de E est leC-espace vectorielC E. L’application EE ! C E; (x;y)7! 1 x +{ y estR R R Run isomorphisme deR-espaces vectoriels. Ceci conduit a une de nition tresconcrete du complexi e de E : le groupe abelien sous-jacent est EE estla multiplication par un scalaire complexe est de nie par la formule(a +{b):(x;y) = (ax by;bx +ay) :Il est clair que si leR-espace vectorielE est dimension nie alors il en est dem^eme pour le leC-espace vectorielC E et que l’on a :Rdim (C E) = dim E :C R R Soit F un C-espace vectoriel. On rappelle que l’on de nit un nouveauC-espace vectoriel, noteF et appele conjugue deF , de la fa con suivante. Legroupe abelien sous-jacent a F est encore F mais la multiplication par lesscalairesCF!F est ( ;x )7! x .Soit E un R-espace vectoriel. Alors le complexi e de E et le conjugue ducomplexi e de E sont deuxC-espaces vectoriels canoniquement isomorphes.Precisement : l’applicationEE!EE ; (x;y)7! (x; y)induit un isomorphisme deC-espaces vectorielsC E = C E :R R1 SoitF unC-espace vectoriel. On note reF leR-espace vectoriel sous-jacenta F . Il est clair que si leC-espace vectoriel F est dimension nie alors il enest de m^eme pour le leR v reF et que l’on a :dim reF = 2 dim F :R CSoit E un R-espace vectoriel. Il est clair egalement que l’on a un isomor-phisme ...